Octogone - Corrigé

Énoncé

L'octogone régulier $\text{A}\text{B}\text{C}\text{D}\text{E}\text{F}\text{G}\text{H}$ représenté ci-dessous est de centre $\text{O}$ et $z_{\text{A}}=1$ . Déterminer l'affixe de chacun de ses sommets.

Solution

Comm e $\text{A}\text{B}\text{C}\text{D}\text{E}\text{F}\text{G}\text{H}$   est un octogone régulier de centre $\text{O}$ inscrit dans le cercle trigonométrique, avec $z_{\text{A}}=1$ , on en déduit que ses sommets sont les racines huitièmes de l'unité. On a donc :

• $z_{\text{A}}=1$
  
• $z_{\text{B}}={\text{e}}^{\frac{2i\pi }{8}}={\text{e}}^{\frac{i\pi }{4}}$
  
• $z_{\text{C}}={\text{e}}^{\frac{4i\pi }{8}}={\text{e}}^{\frac{i\pi }{2}}=i$
  
• $z_{\text{D}}={\text{e}}^{\frac{6i\pi }{8}}={\text{e}}^{\frac{3\pi }{4}}$
  
• $z_{\text{E}}={\text{e}}^{\frac{8i\pi }{8}}={\text{e}}^{i\pi }=-1$
  
• $z_{\text{F}}={\text{e}}^{\frac{10i\pi }{8}}={\text{e}}^{\frac{5i\pi }{4}}$
  
• $z_{\text{G}}={\text{e}}^{\frac{12i\pi }{8}}={\text{e}}^{\frac{3i\pi }{2}}=-i$
  
• $z_{\text{H}}={\text{e}}^{\frac{14i\pi }{8}}={\text{e}}^{\frac{7i\pi }{4}}$